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End2End Multi-View Feature Matching with Differentiable Pose Optimization

该页面还在建设中

Link: arxiv, paper, gh-page, code

Abstract

  • Claim: Differentiable Pose Estimation (Eight-Point Algorithm + Bundle Adjustment) and feature matching jointly, End-to-End training
  • Core Problem: reject outliers in feature matching
  • GNN: predict feature matching and confidence weights
  • Pose Estimation: use matching as constraints
DifferentiablePO_1

Multi-View Graph Attention Network

Notations

  • \(N\) images: \(\{I_n\}_{n=1}^N\)
  • corresponding poses: \(\{p_n\}_{n=1}^N\)
  • keypoints \(x\in \mathbb{R}^2\) , descriptors \(d\in \mathbb{R}^D\), confidence score \(c\in [0, 1]\)

待续。从代码可以看出用的就是 SuperGlue。

输出 confidence weight \(w_{ij}\)

Differentiable Pose Optimization

Weighted Eight-Point Algorithm

Epipolar Geometry Basics

回忆基础矩阵 (fundamental matrix) \(F\) 和本质矩阵 (essential matrix) \(E\)，它们之间有关系

\[ E = K_2^{\top}EK_1 \]

其中 \(K\) 是相机内参矩阵。给定对应 keypoints 的像素位置 \(p_1, p_2\)，又或者对应相机坐标系坐标 \(x_1, x_2\)，有对极约束 (epipolar constraint)：

\[ p_2^\top Fp_1 = 0, \quad x_2^\top Ex_1 = 0 \]

\(p_1=Kx_1\), \(p_2=Kx_2\)

因此，通过足够多的匹配点像素坐标可以计算基础矩阵，进而结合内参矩阵计算本质矩阵。由于有

\[ E=t^{\wedge}R \]

可以证明，\(E\) 可以进行如下的 SVD 分解

\[ E=U\Sigma V^{\top},\quad \Sigma=\operatorname{diag}\{\sigma, \sigma, 0\} \]
Proof

Lemma

设 \(A\) 是 \(n\) 阶实反对称矩阵 (skew-symmetric matrix)，若 \(n\) 为奇数，则 \(A\) 必定奇异。

Proof

\[ \det A = \det A^{\top}=\det (-A) = (-1)^n \det A= -\det A\Rightarrow \det A=0 \]

设 \(Z=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\)，则有结论

Lemma

设 \(A\) 是 \(n\) 阶实反对称矩阵，则 \(A=UDU^{\top}\)，其中 \(D\) 为如下的分块对角矩阵

\[ D=\operatorname{diag}\{\lambda_1Z, \lambda_2Z, \cdots, \lambda_mZ, 0, \cdots, 0\} \]

证明见 pdf。可以得到推论：反对称矩阵的非零特征值就是 \(\pm \lambda_1 i, \cdots, \pm \lambda_m i\)，都是纯虚数

\(E=t^{\wedge}R\)，由于 \(t^{\wedge}\neq 0\) 是反对称矩阵，存在 \(\sigma\neq 0\) 使得

\[ t^{\wedge}=\sigma UDU^{\top},\quad D=\operatorname{diag}\{Z, 0\} \]

考虑

\[ W=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \]

\(W\) 实际上是绕 \(z\) 轴逆时针旋转 90 度的旋转矩阵

则 \(D=\operatorname{diag}\{1, 1, 0\} W\)。由此就有

\[ E=\sigma UDU^{\top}R=U \operatorname{diag}\{\sigma, \sigma, 0\} (WU^{\top}R) \]

从而得证。

以上的证明也同时证明了，完成该 SVD 分解之后，可以解得如下两种可能的 \(t^{\wedge}\), \(R\)：

\[ \begin{aligned} &t^{\wedge} = UR_Z\left(\frac{\pi}{2}\right)\Sigma U^{\top},\quad R=UR_Z^{\top}\left(\frac{\pi}{2}\right)V^{\top}\\ &t^{\wedge} = UR_Z\left(-\frac{\pi}{2}\right)\Sigma U^{\top},\quad R=UR_Z^{\top}\left(-\frac{\pi}{2}\right)V^{\top} \end{aligned} \]

\(R_Z(\theta)\) 表示绕 \(z\) 轴逆时针旋转 \(\theta\) 的旋转矩阵

由于 \(E\) 和 \(-E\) 等价，对任何一个 \(t\) 取负号，结果也是相同的，所以一共可以有 \(4\) 种解，需要选择其中最好的解。在训练时，作者采用了离 ground truth 最近的解；在测试时，作者采用了能让最多的点在两个相机坐标系下都具有正深度的解。

Implementation Details

一般的解出来的 \(E\) 奇异值矩阵不一定满足 \(\operatorname{diag}\{\sigma, \sigma, 0\}\) 的形式，可以有很多种修正方式：

  • 解得奇异值矩阵 \(\operatorname{diag}\{\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\}\) 后，取 \(\Sigma=\operatorname{diag}\{\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2}, \frac{\sigma_1+\sigma_2}{2}, 0\}\)
  • 由于 \(E\) 具有尺度等价性，直接取 \(\Sigma=\operatorname{diag}\{1, 1, 0\}\)
  • ……

这里作者使用的方法比较粗暴，就是简单地将解得的奇异值矩阵 \(\operatorname{diag}\{\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\}\) 取为 \(\Sigma=\operatorname{diag}\{\sigma_1, \sigma_2, 0\}\)，这里没有保证 \(\sigma_1=\sigma_2\)，我认为是不太对的。也许在作者调的来自 Kornia 的包中进行了处理，有待进一步探索。

Bundle Adjustment

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