Continuities

根据 Lipschitz continuity - Wikipedia 和 Hölder condition - Wikipedia，在实轴的闭区间 \(I=[a, b]\) 上，有如下的连续性包含关系：

continuiously differentiable \(\subset\) Lipschitz continuous \(\subset\) \(\alpha\)-Hölder continuous \(\subset\) uniformly continuous \(=\) continuous

这里要求 \(0 < \alpha \leqslant 1\)

特别地，对于 absolutely continuous，有

Lipschitz continuous \(\subset\) absolutely continuous \(\subset\) uniformly continuous

Continuiously Differentiable

连续可微 (continuiously differentiable) 指 \(f\) 的导数 \(f'\) 存在且连续。

continuiously differentiable \(\Rightarrow\) Lipschitz continuous

\(f'\) 在闭区间 \(I\) 上连续，可以得到其在 \(I\) 上有界，那么对于 \(x, y\in I\) 有

\[ |f(x) - f(y)| = \left| \int_x^y f'(t)\mathrm{d}t\right| \leqslant \int_x^y |f'(t)|\mathrm{d}t \leqslant L |x - y| \]

Lipschitz Continuous

Lipschitz 连续指存在一个常数 \(L\geqslant 0\) 使得对于所有 \(x, y\) 有

\[ |f(x) - f(y)| \leqslant L |x - y| \]

\(\alpha\)-Hölder Continuous

\(\alpha\)-Hölder 连续指对于给定的 \(\alpha>0\)，存在一个常数 \(C\geqslant 0\) 使得对于所有 \(x, y\) 有

\[ |f(x) - f(y)| \leqslant C |x - y|^\alpha \]

Lipschitz 连续是 \(\alpha\)-Hölder 连续的特例，即 \(\alpha=1\)。

Uniformly Continuous

一致连续 (uniformly continuous) 指对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\) 使得对于所有 \(x, y\) 有

\[ |x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon \]

\(\alpha\)-Hölder 连续已经让 \(|f(x) - f(y)|\) 被 \(C\delta^\alpha\) 控制，因此只需要让 \(\varepsilon > C[\delta(\varepsilon)]^\alpha\) 即可

\(\delta(\varepsilon)\) 代表 \(\delta\) 由 \(\varepsilon\) 决定

根据 Heine-Cantor theorem - Wikipedia，一致连续的函数在闭区间上一定是连续的。

Absolutely Continuous

绝对连续要求对 \(\forall \varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对于任意有限个互不相交的满足 \(\sum\limits_{k=1}^N(y_k - x_k) < \delta\) 的子区间 \((x_k, y_k)\subseteq I\)，有

\[ \sum_{k=1}^N|f(y_k) - f(x_k)| < \varepsilon \]

所有 \(I\) 上的绝对连续函数的集合记为 \(\operatorname{AC}(I)\)。

Lipschitz continuous \(\Rightarrow\) Absolutely continuous

直接取 \(\delta < \varepsilon / L\) 即可。

取 \(N=1\)，会发现绝对连续是一致连续的强化版。

Bounded Variation

实分析中还有一个常见的相关概念有界变差 (bounded variation)，存在强弱关系：

uniformly continuous \(\subset\) bounded variation \(\subset\) differentiable almost everywhere

变差也常常翻译作变分，在这里遵循周性伟、孙文昌编著的《实变函数》第三版；有界变差也称为有限变差

首先介绍变差的概念，\(f\) 是 \(I=[a, b]\) 上的实值函数，\(X=\{x_k\}_{0\leqslant k \leqslant n}\) 是 \(I\) 上的一个划分 (partition)，即 \(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)，定义 \(f\) 在 \(X\) 上的变差 (variation) 为

\[ V(X) = \sum_{k=1}^n |f(x_k) - f(x_{k-1})| \]

而 \(f\) 在 \(I\) 上的全变差 (total variation) 为

\[ T_a^b(f) = \sup_{X} V(X) \]

如果 \(T_a^b(f) < \infty\)，则称 \(f\) 在 \(I\) 上有界变差 (bounded variation)。

uniformly continuous \(\Rightarrow\) bounded variation

取 \(n\) 足够大，使得 \(x_{i+1} - x_i\) 都小于 \(\delta\)，则可以得到 \(T_a^b(f) \leqslant n\varepsilon\)。

也可以使用反证法去证明。

bounded variation \(\Rightarrow\) differentiable almost everywhere

为了得到这个结论，只需要证明以下两个定理：

(Lebesgue) 若 \(f\) 是 \([a, b]\) 上的单增实值函数，则 \(f\) 在 \([a, b]\) 上几乎处处可导
\(f\) 在 \([a, b]\) 上有界变差，等价于 \(f\) 可以表示为两个单增实值函数的差

第一个定理的证明较为复杂，涉及到 Vitali 覆盖定理（参见 Vitali Covering Lemma - Wikipedia 中关于 Lebesgue 测度下的 Vitali 覆盖定理）与一些实分析的技术，感兴趣的读者可以查阅周性伟、孙文昌编著的《实变函数》第三版 5.1 节。

第二个定理的证明

单增实值函数显然是有限变差的，两个单增实值函数的差也是有限变差的，因此反推显然，只证明正推的过程。

设 \(f\) 是有界变差的，当 \(a \leqslant x_1 < x_2 \leqslant b\) 时，由于

\[ f(x_2) - f(x_1) \leqslant T_{x_1}^{x_2}(f) = T_a^{x_2}(f) - T_a^{x_1}(f) \]

可以得到 \(T_a^{x_1}(f) - f(x_1) \leqslant T_a^{x_2}(f) - f(x_2)\)，即 \(T_a^{x}(f) - f(x)\) 是单增的。这样，我们就可以将 \(f\) 表示为

\[ f(x) = T_a^x(f) - [T_a^x(f) - f(x)] \]

即两个单增实值函数的差。