基础：复数和旋转
复数和 2D
复数乘法矩阵形式
对于复数 \(z_1 = a + bi\) \(z_2 = c + di\)
\[
z_1 z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
\]
实际上，我们可以将复数看作是一个 \(2 \times 2\)
复数的反对称矩阵表示
对于复数 \(z=a + bi\)
\[
z=\begin{bmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{bmatrix}
\]
只将 \(z_1\) 矩阵和向量的乘法 ：
\[
z_1z_2 = \begin{bmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c \\
d
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
ac - bd \\
ad + bc
\end{bmatrix}
\]
或者，将 \(z_1\) \(z_2\) 矩阵乘法 ：
\[
z_1z_2 = \begin{bmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c & -d \\
d & c
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
ac - bd & -ad - bc \\
ad + bc & ac - bd
\end{bmatrix}
\]
从可以表示为矩阵乘法也可以看出复数乘法是可交换 的
复数乘法极坐标形式
只把 \(z_1\) \(z_2\) \(z_1\) \(z_1\) \((1, 0)^{\top}\) \((a, b)^{\top}\) \((0, 1)^{\top}\) \((-b, a)^{\top}\)
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\sqrt{a^2 + b^2} & 0 \\
0 & \sqrt{a^2 + b^2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} & -\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\
\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\end{bmatrix}
&=
\underbrace{\begin{bmatrix}
\|z_1\| & 0 \\
0 & \|z_1\|
\end{bmatrix}}_{\text{scaling}}
\underbrace{\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}}_{\text{rotation}}
\end{aligned}
\]
这是否十分熟悉？利用欧拉公式 \(e_{i\theta} = cos \theta + i \sin \theta\)
\[
z_1 = \|z_1\|\begin{bmatrix}
\cos \theta _1 & -\sin \theta _1 \\
\sin \theta _1 & \cos \theta _1
\end{bmatrix}
= \|z_1\|(\cos \theta _1 + i \sin \theta _1) = \|z_1\|e^{i\theta _1}
\]
也就有我们十分熟悉的极坐标形式下的复数乘法了
\[
z_1z_2 = \|z_1\|\|z_2\|e^{i(\theta _1 + \theta _2)}
\]
可以认为先将复数乘法视为矩阵乘法，再将 \(z_1, z_2\)
复数乘法形式总结
\[
z_1 z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
\]
\[
z_1z_2 = \begin{bmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c \\
d
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
ac - bd \\
ad + bc
\end{bmatrix}
\]
\[
z_1z_2 = \begin{bmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c & -d \\
d & c
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
ac - bd & -ad - bc \\
ad + bc & ac - bd
\end{bmatrix}
\]
\[
z_1z_2 = \|z_1\|\|z_2\|e^{i(\theta _1 + \theta _2)}
\]
2D 旋转由此，2D 旋转可以有如下三种表示形式（将 2D \(v\) \(v'\) ） ：
2D 旋转的表示形式
\[
v' = Rv
= \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}v
\]
\[
v' = zv = (\cos \theta + i \sin \theta)v
\]
\[
v' = e^{i\theta}v
\]
3D 旋转轴角式表示
将主要讨论轴角 (axis-angle) 3D
旋转轴由其在 3D \(\mathbf{u}=(u_x, u_y, u_z)^{\top}\in \mathbb{R}^3\)
旋转角 \(\theta\)
看似变量一共为 4 \(\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}=1\) 3
除了轴角式，欧拉角也常用来表示 3D (Gimbal Lock )，而且依赖于三个坐标轴的标定，使用轴角式表示就可以解决这个问题。
关于 Gimbal Lock
旋转分解
把即将进行旋转的向量 \(\mathbf{v}\)
\[
\mathbf{v} = \mathbf{v}_{\parallel} + \mathbf{v}_{\perp}
\]
其中 \(\mathbf{v}_{\perp}\) \(\mathbf{u}\) \(\mathbf{v}_{\parallel}\) \(\mathbf{u}\) \(\mathbf{v}_{\parallel}\) \(\mathbf{v}\) \(\mathbf{u}\)
这样，我们可以通过 \(\mathbf{v}' = \mathbf{v}_{\parallel}' + \mathbf{v}_{\perp}'\) \(\mathbf{v}'\) \(\mathbf{v}_{\parallel}'=\mathbf{v}_{\parallel}\)
利用向量正交分解进行 3D
计算分解 \(\mathbf{v}_{\parallel}\) \(\mathbf{v}_{\perp}\)
旋转 \(\mathbf{v}_{\perp}\) \(\mathbf{v}_{\perp}'\)
计算 \(\mathbf{v}'=\mathbf{v}_{\perp}' + \mathbf{v}_{\parallel}\)
3D 旋转计算分解
根据 \(v_{\parallel}\) \(\mathbf{v}\)
\[
\begin{aligned}
\mathbf{v}_{\parallel}
&= \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v} \\
&= \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|} \cdot \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|} \\
&= (\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}) \mathbf{u}
\end{aligned}
\]
这样，就有 \(\mathbf{v}_{\perp} = \mathbf{v} - \mathbf{v} _{\parallel} = \mathbf{v} - (\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}) \mathbf{u}\)
旋转正交分量
接下来旋转 \(\mathbf{v}\) \(\mathbf{v}_{\perp}\) \(\mathbf{v}_{\perp}'\) \(\mathbf{u}\) 2D x-y 2D x y
将 \(\frac{\mathbf{v}_{\perp}}{\|\mathbf{v}_{\perp}\|}\) x \(\mathbf{v}_{\perp}\) y \(\mathbf{v}_{\perp}\) \(\mathbf{u}\) 叉积 的方式构造这样一个正交于由 \(\mathbf{v}_{\perp}\) \(\mathbf{u}\)
\[
\mathbf{w} = \mathbf{u}\times \mathbf{v}_{\perp}
\]
然后将 \(\frac{\mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|}\) y
\(\|\mathbf{w}\| = \| \mathbf{u}\|\cdot \| \mathbf{v_{\perp}}\| \sin\frac{\pi}{2}= \| \mathbf{v_{\perp}}\|\) ，\(\mathbf{w}\) \(\mathbf{v}_{\perp}\) 叉积的方向由 \(\mathbf{u}\) \(\mathbf{v}_{\perp}\) \(\mathbf{u}\) x-y x y \(\frac{\pi}{2}\)
所以，将 x y 轴视为虚轴，\(\mathbf{v}_{\perp}\) \(\|\mathbf{v}_{\perp}\|\) \(\mathbf{w}\) \(\|\mathbf{v}_{\perp}\|i\)
\[
\mathbf{v}_{\perp}' = (\cos\theta + i\sin\theta)\|\mathbf{v}_{\perp}\|
=\underbrace{\|\mathbf{v}_{\perp}\|\cos\theta}_{\in \mathbb{R}} + i\underbrace{\|\mathbf{v}_{\perp}\|\sin\theta}_{\in \mathbb{R}}
\]
重新将复数表示转换为向量表示，就有
\[
\begin{aligned}
\mathbf{v}_{\perp}'
&= \|\mathbf{v}_{\perp}\|\cos\theta \cdot \frac{\mathbf{v}_{\perp}}{\|\mathbf{v}_{\perp}\|} + \|\mathbf{v}_{\perp}\|\sin\theta \cdot \frac{\mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|} \\
&= \mathbf{v}_{\perp} \cos\theta + (\mathbf{u}\times \mathbf{v}_{\perp})\sin\theta \\
&= [\mathbf{v} - (\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}) \mathbf{u}]\cos\theta + \{\mathbf{u}\times [\mathbf{v} - (\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}) \mathbf{u}]\}\sin\theta \\
&= \mathbf{v}\cos\theta - (\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}) \mathbf{u}\cos\theta + (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\sin\theta
\end{aligned}
\]
注意 \(\mathbf{u}\times \mathbf{u}=0\)
组合两个分量
由于 \(\mathbf{v}' = \mathbf{v}_{\perp}' + \mathbf{v}_{\parallel}\)
\[
\begin{aligned}
\mathbf{v}'
&= \underbrace{\mathbf{v}\cos\theta - (\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}) \mathbf{u}\cos\theta + (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\sin\theta}_{\mathbf{v}_{\perp}'}
+ \underbrace{(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}) \mathbf{u}}_{\mathbf{v}_{\parallel}} \\
&= \mathbf{v}\cos\theta + \mathbf{u}[(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})(1-\cos\theta)] + (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\sin\theta
\end{aligned}
\]
由此我们就得到了著名的罗德里格斯旋转公式 (Rodrigues' rotation formula)
罗德里格斯旋转公式 (Rodrigues' rotation formula)
在 3D \(\mathbf{v}\) \(\mathbf{u}\) \(\theta\) (\(\|\mathbf{u}\|=1\) ) \(\mathbf{v}'\)
\[
\mathbf{v}'= \mathbf{v}\cos\theta + \mathbf{u}(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})(1-\cos\theta) + (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\sin\theta
\]
