Basics of Set Theory
Common Symbols
- 幂集 (power set)：\(\mathcal{P}(X) = \{A: A\subseteq X\}\)
- 用指标集 \(\Lambda\) 选取 \(X\) 的子集构成集族：\(\mathcal{A} = \{A_{\alpha}\subseteq X: \alpha\in\Lambda\}\)
- 用指标集可以方便地表示多个集合的并、交等运算：
\[
\begin{gathered}
\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_{\alpha} = \{x: \exists \alpha\in \Lambda, x\in A_{\alpha}\}, \\
\bigcap_{\alpha\in\Lambda}A_{\alpha} = \{x: \forall \alpha\in \Lambda, x\in A_{\alpha}\}. \\
\end{gathered}
\]
- 差集 \(A \backslash B = \{x: x\in A, x\notin B\}\)，补集 \(A^c = \Omega \backslash A\)（用 \(\Omega\) 表示全集）
基本集合论练习
- \(\{x: \sup _n f_n(x) > t\} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\{ x: f_n(x) > t \}\)
- \(\{x: \sup _n f_n(x) \leqslant t\} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\{ x: f_n(x) \leqslant t \}\)
第二行由第一行应用 De Morgan 律容易得到。令 \(A=\{x: \sup _n f_n(x) > t\}\), \(A_n=\{ x: f_n(x) > t \}\)
- \(\forall x\in A\)，如果不存在 \(n_0\) 使得 \(f_{n_0}(x) = \sup_n f_n(x)\)，则有 \(f_n(x) < \sup_n f_n(x)\)，两边同取 \(\sup_n\) 后发现矛盾，因此有 \(f_{n_0}(x) > t\), \(x\in A_{n_0}\)，也就有 \(x\in \bigcup A_n\Rightarrow A\subseteq \bigcup A_n\)
- \(\forall x\in \bigcup A_n\)，存在 \(n_0\) 使得 \(x\in A_{n_0}\)，也就有 \(\sup_n f_n(x) \geqslant f_{n_0}(x) > t\)，因此 \(x\in A\Rightarrow \bigcup A_n\subseteq A\)
Limitation of Set Sequence
像定义数列的极限一样，讨论对集列的极限的定义之前，先考虑单调集列这一特殊情况。
- 单增集列：\(A_k\subseteq A_{k+1}\), \(k\in \mathbb{N}\)，一定在全集 \(\Omega\) 中，其极限一定存在，为 \(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\subseteq \Omega\)
- 单减集列：\(A_k\supseteq A_{k+1}\), \(k\in \mathbb{N}\)，其极限一定存在，为 \(\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k\)
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