Functions of a Real Variable
real analysis ( 实分析 ) is too difficult for me, so I just try to learn functions of a real variable ( 实变函数 ) first.
本页面还在施工中。目前计划在智云课堂学习贾厚玉老师开设的《实变函数》
Contents
- Basics of Set Theory
- Lebesgue Measure
- ......(to be continued)
Objective: Lebesgue Integral
Riemann 可积函数列存在一个问题，极限运算是不封闭的，也即可积函数列的极限函数可能不可积。
极限运算不封闭
记 \([0, 1]\) 上的可积函数类为 \(R[0, 1]\)，则考虑 \([0, 1]\) 上的“二进有理数”数列：
\[
0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}, \cdots
\]
即该数列由 \(0, 1\) 以及形式为 \(1/2^n, 3/2^n, \cdots, (2^n-1)/2^n\) 的数构成，记该数列为 \(\{r_n\}\)。则定义函数列 \(f_k(x)\) 如下：
\[
f_k(x) = \begin{cases}
1, & x = r_n, k\geqslant n \in \mathbb{N} \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
对于其极限函数 \(f(x)\)，对于任意细的划分，每个子区间一定有取值为 1 的离散点和取值为 0 的离散点，因此类似于 Dirichlet 函数，有 \(f\notin R[0, 1]\)。
引入 Lebesgue 可积函数类，是因为其在极限运算下是封闭的，即积分和极限运算可以交换：
\[
\lim_{n\to \infty} \int_a^b f_n(x)\mathrm{d}x = \int_a^b \lim_{n\to \infty} f_n(x)\mathrm{d}x
\]
而且 Lebesgue 可积是对 Riemann 可积的扩展，即原来 Riemann 可积的函数依然也是 Lebesgue 可积的。因此，Lebesgue 积分对 Riemann 积分进行了完备化。Lebesgue 积分正是实变函数的核心内容。