Introduction
Part of note of Partial Differential Equations, Lawrence C. Evans
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Partial Differential Equations
PDE
k 阶 PDE 的一般形式为
\[
F\left(D^k u(x), D^{k-1}u(x), \cdots, Du(x), u(x), x\right) = 0, \quad x\in U
\]
其中已知
\[
F: \mathbb{R}^{n^k} \times \mathbb{R}^{n^{k-1}} \times \cdots \times \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \times U \to \mathbb{R}
\]
欲求
\[
u: U \to \mathbb{R}
\]
一般来说，我们还会再给一些辅助的边界条件，约定于 \(\Gamma\subseteq\partial U\)。
linear & nonlinear PDEs
- linear PDEs: 给定函数 \(\:a_{\alpha}(|\alpha|\leqslant k)\), \(f\)
\[
\sum_{|\alpha|\leqslant k}a_{\alpha}(x)D^{\alpha}u=f(x)
\]
特别地，若 \(f\equiv 0\)，则称齐次 (homogeneous)。
- semilinear PDEs:
\[
\sum_{|\alpha| = k}a_{\alpha}(x)D^{\alpha}u + a_0\left(D^{k-1}u, \cdots, Du, u, x\right)=0
\]
- quasilinear PDEs:
\[
\sum_{|\alpha| = k}a_{\alpha}\left(D^{k-1}u, \cdots, Du, u, x\right)D^{\alpha}u + a_0\left(D^{k-1}u, \cdots, Du, u, x\right)=0
\]
- fullly nonlinear PDEs: 非线性地依赖于最高阶导数
向量化，或者说从单个 PDE 到一个 PDE 的集合，就可以得到 PDE 系统 (system)。
system of PDE
k 阶 PDE 系统的一般形式为
\[
\bm F\left(D^k \bm u(x), D^{k-1}\bm u(x), \cdots, D\bm u(x), \bm u(x), x\right) = 0, \quad x\in U
\]
其中已知
\[
\bm F: \mathbb{R}^{mn^k} \times \mathbb{R}^{mn^{k-1}} \times \cdots \times \mathbb{R}^{mn} \times \mathbb{R}^m \times U \to \mathbb{R}^m
\]
欲求
\[
\bm u: U \to \mathbb{R}^m, \bm u=(u^1,\cdots, u^m)
\]