Skip to content

Four Important Linear Partial Differential Equations

Part of note of Partial Differential Equations, Lawrence C. Evans

本页面还在施工中

Transport Equation

（常系数）运输方程 (transport equation) 是最简单的 PDE 之一。

transport equation

其一般形式为

\[ u_t + b \cdot \nabla_x u = 0 \]

其中，\(b \in \mathbb{R}^n\) 是常向量，\(u = u(x, t): \mathbb{R}^n\times [0, +\infty)\to \mathbb{R}\) 是未知函数，并且有

\[ u_t = \frac{\partial u}{\partial t}, \quad \nabla_x u = \left(\frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial u}{\partial x_n}\right)^T \]

在实际问题中，\(x\) 具有典型的位置含义，\(t\) 具有典型的时间含义，\(b\) 则具有速度含义。

要解决 transport equation，首先要注意到它的一个重要性质：\(u\) 在某个方向（直线）上保持为常数。可以证明，这个方向就是 \((b, 1)\in\mathbb{R}^{n+1}\)。

Proof

令

\[ z(s)=u(x+sb, t+s), \quad s\in\mathbb{R} \]

则

\[ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} = b\cdot \nabla_x u(x+sb, t+s) + u_t(x+sb, t+s) = 0 \]

由此可知 \(z(s)\) 关于 \(s\) 为常数。

Initial Value Problem

Initial Value Problem

令 \(u_0(x) = u(x, 0)\)，则

\[ \begin{cases} u_t + b \cdot \nabla_x u = 0, & x\in\mathbb{R}^n, t>0 \\ u(x, 0) = u_0(x), & x\in\mathbb{R}^n \end{cases} \]

是 transport equation 的初值问题。

简单地利用前面得到的性质，就有

\[ u(x, t) = u(x-bt, 0) = u_0(x-bt) \]

需要注意，这里只是证明了若方程有足够好（合法）的解 \(u\)，那么这个解一定形如 \(u_0(x-bt)\)；但并没有证明这个形式的解总是合法。

如果额外提供条件 \(g\in C^1\)，那么就能证明 \(u(x, t) = u_0(x-bt)\) 也满足方程，这样就成为了一个充要解。

  • 机械运动认识：\(u_0(x)\) 是 \(u(x, t)\) 在 \(t=0\) 时刻的刻画，\(u_0(x)\) 沿着 \((b, 1)\) 运动得到 \(u(x, t)\)
  • 几何认识：\(u_0(x)\) 是 \(u(x, t)\) 在 \(\mathbb{R}^n\times \{t=0\}\) 的截面，过 \((x, t)\) 方向为 \((b, 1)\) 的直线与平面交于 \((x-tb, 0)\)

weak solutions

如果 \(g\notin C^1\)，那么显然方程就没有 \(C^1\) 解了，此时可以非正式地称 \(u(x, t) = u_0(x-bt)\) 为方程的弱解（weak solution）

Nonhomogeneous Problem

其实就是将 transport equation 改成

\[ u_t + b \cdot \nabla_x u = f \]

同样定义 \(z(s)\)，有

\[ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} = b\cdot \nabla_x u(x+sb, t+s) + u_t(x+sb, t+s) = f(x+sb, t+s) \]

这样就有

\[ \begin{aligned} u(x, t) &= u_0(x-bt) + z(0) - z(-t)\\ &= u_0(x-bt) + \int_{-t}^0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}\mathrm{d}s\\ &= u_0(x-bt) + \int_{-t}^0 f(x+sb, t+s) \mathrm{d}s\\ &= u_0(x-bt) + \int_{0}^t f(x+(s-t)b, s) \mathrm{d}s \end{aligned} \]

这个公式也将被应用于 wave equation 的求解。

method of characteristics

这种将 PDE 转换成 ODE 求解的方法，是特征线法 (method of characteristics) 的一个特例。

Problem 2.1

解

\[ \begin{cases} u_t + b \cdot \nabla_x u + cu = 0, & x\in\mathbb{R}^n, t>0 \\ u(x, 0) = g(x), & x\in\mathbb{R}^n \end{cases} \]

\(c\in \mathbb{R}\), \(b\in\mathbb{R}^n\) 为常数

Solution

令 \(z(s)=u(x+sb, t+s)\)，则

\[ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} = b\cdot \nabla_x u(x+sb, t+s) + u_t(x+sb, t+s) = -cu(x+sb, t+s) = -cz(s) \]

解该 ODE 得到

\[ z(s) = u(x, t)e^{-cs} \]

因此有

\[ u(x, t)e^{-cs} = u(x+sb, t+s) \]

令 \(s=-t\)，有

\[ u(x, t) = u(x-bt, t-t)e^{-ct} = g(x-tb)e^{-ct} \]

Laplace's Equation

首先回忆一下散度 (divergence) 和拉普拉斯算子 (Laplace operator) 的定义。

Divergence

对于 \(u\in\mathbb{R}^n\)，其散度 (divergence) \(\operatorname{div} u\) 定义为

\[ \operatorname{div} u = \nabla \cdot u = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u_i}{\partial x_i} \]

考虑其“发散程度”的物理意义，它还有一种定义：

\[ \operatorname{div} u = \lim_{V\to 0} \frac{1}{|V|} \oiint_{\partial V} u\cdot \hat{n} \mathrm{d}S \]
Laplace operator

Laplace operator \(\Delta\) 定义为梯度的散度，即

\[ \Delta u = \nabla \cdot \nabla u = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \]

同时介绍 Laplace's equation 和 Poisson's equation 方程，因为只有齐次和非齐次的区别。

Laplace's equation and Poisson's equation

Laplace's equation 形式为

\[ \Delta u = 0 \]

Poisson's equation 形式为

\[ -\Delta u = f \]

其中，\(x\in U\subset \mathbb{R}^n\)，\(U\) 是给定的开集。\(u: \overline{U}\to \mathbb{R}\) 是未知函数，\(f: U\to \mathbb{R}\) 是已知函数。（\(\overline{U}\) 表示 \(U\) 的闭包）

Heat Equation

Wave Equation