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Four Important Linear Partial Differential Equations

Part of note of Partial Differential Equations, Lawrence C. Evans

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Transport Equation

（常系数）运输方程 (transport equation) 是最简单的 PDE 之一。

transport equation

其一般形式为

\[ u_t + b \cdot \nabla_x u = 0 \]

其中，\(b \in \mathbb{R}^n\) 是常向量，\(u = u(x, t): \mathbb{R}^n\times [0, +\infty)\to \mathbb{R}\) 是未知函数，并且有

\[ u_t = \frac{\partial u}{\partial t}, \quad \nabla_x u = \left(\frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial u}{\partial x_n}\right)^T \]

在实际问题中，\(x\) 具有典型的位置含义，\(t\) 具有典型的时间含义，\(b\) 则具有速度含义。

要解决 transport equation，首先要注意到它的一个重要性质：\(u\) 在某个方向（直线）上保持为常数。可以证明，这个方向就是 \((b, 1)\in\mathbb{R}^{n+1}\)。

Proof

令

\[ z(s)=u(x+sb, t+s), \quad s\in\mathbb{R} \]

则

\[ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} = b\cdot \nabla_x u(x+sb, t+s) + u_t(x+sb, t+s) = 0 \]

由此可知 \(z(s)\) 关于 \(s\) 为常数。

Initial Value Problem

Initial Value Problem

令 \(u_0(x) = u(x, 0)\)，则

\[ \begin{cases} u_t + b \cdot \nabla_x u = 0, & x\in\mathbb{R}^n, t>0 \\ u(x, 0) = u_0(x), & x\in\mathbb{R}^n \end{cases} \]

是 transport equation 的初值问题。

简单地利用前面得到的性质，就有

\[ u(x, t) = u(x-bt, 0) = u_0(x-bt) \]

需要注意，这里只是证明了若方程有足够好（合法）的解 \(u\)，那么这个解一定形如 \(u_0(x-bt)\)；但并没有证明这个形式的解总是合法。

如果额外提供条件 \(g\in C^1\)，那么就能证明 \(u(x, t) = u_0(x-bt)\) 也满足方程，这样就成为了一个充要解。

  • 机械运动认识：\(u_0(x)\) 是 \(u(x, t)\) 在 \(t=0\) 时刻的刻画，\(u_0(x)\) 沿着 \((b, 1)\) 运动得到 \(u(x, t)\)
  • 几何认识：\(u_0(x)\) 是 \(u(x, t)\) 在 \(\mathbb{R}^n\times \{t=0\}\) 的截面，过 \((x, t)\) 方向为 \((b, 1)\) 的直线与平面交于 \((x-tb, 0)\)

weak solutions

如果 \(g\notin C^1\)，那么显然方程就没有 \(C^1\) 解了，此时可以非正式地称 \(u(x, t) = u_0(x-bt)\) 为方程的弱解（weak solution）

Nonhomogeneous Problem

其实就是将 transport equation 改成

\[ u_t + b \cdot \nabla_x u = f \]

同样定义 \(z(s)\)，有

\[ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} = b\cdot \nabla_x u(x+sb, t+s) + u_t(x+sb, t+s) = f(x+sb, t+s) \]

这样就有

\[ \begin{aligned} u(x, t) &= u_0(x-bt) + z(0) - z(-t)\\ &= u_0(x-bt) + \int_{-t}^0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}\mathrm{d}s\\ &= u_0(x-bt) + \int_{-t}^0 f(x+sb, t+s) \mathrm{d}s\\ &= u_0(x-bt) + \int_{0}^t f(x+(s-t)b, s) \mathrm{d}s \end{aligned} \]

这个公式也将被应用于 wave equation 的求解。

method of characteristics

这种将 PDE 转换成 ODE 求解的方法，是特征线法 (method of characteristics) 的一个特例。

Problem 2.1

解

\[ \begin{cases} u_t + b \cdot \nabla_x u + cu = 0, & x\in\mathbb{R}^n, t>0 \\ u(x, 0) = g(x), & x\in\mathbb{R}^n \end{cases} \]

\(c\in \mathbb{R}\), \(b\in\mathbb{R}^n\) 为常数

Solution

令 \(z(s)=u(x+sb, t+s)\)，则

\[ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} = b\cdot \nabla_x u(x+sb, t+s) + u_t(x+sb, t+s) = -cu(x+sb, t+s) = -cz(s) \]

解该 ODE 得到

\[ z(s) = u(x, t)e^{-cs} \]

因此有

\[ u(x, t)e^{-cs} = u(x+sb, t+s) \]

令 \(s=-t\)，有

\[ u(x, t) = u(x-bt, t-t)e^{-ct} = g(x-tb)e^{-ct} \]

Laplace's Equation

首先回忆一下散度 (divergence) 和拉普拉斯算子 (Laplace operator) 的定义。

Divergence

对于 \(u\in\mathbb{R}^n\)，其散度 (divergence) \(\operatorname{div} u\) 定义为

\[ \operatorname{div} u = \nabla \cdot u = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u_i}{\partial x_i} \]

考虑其“发散程度”的物理意义，它还有一种定义：

\[ \operatorname{div} u = \lim_{V\to 0} \frac{1}{|V|} \oiint_{\partial V} u\cdot \hat{n} \mathrm{d}S \]
Laplace operator

Laplace operator \(\Delta\) 定义为梯度的散度，即

\[ \Delta u = \nabla \cdot \nabla u = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \]

同时介绍 Laplace's equation 和 Poisson's equation 方程，因为只有齐次和非齐次的区别。

Laplace's equation and Poisson's equation

Laplace's equation 形式为

\[ \Delta u = 0 \]

Poisson's equation 形式为

\[ -\Delta u = f \]

其中，\(x\in U\subset \mathbb{R}^n\)，\(U\) 是给定的开集。\(u: \overline{U}\to \mathbb{R}\) 是未知函数，\(f: U\to \mathbb{R}\) 是已知函数。（\(\overline{U}\) 表示 \(U\) 的闭包）

Heat Equation

Wave Equation

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