常微分方程组
Preliminaries
向量 / 矩阵相关的收敛
向量列收敛
如果 \(\forall \;k\in\{1, 2, \cdots, n\}\)，数列 \(\{x_{km}\}\) 都收敛，则称向量序列 \(X_m=(x_{1,m}, x_{2m}, \cdots, x_{nm})^{\top}\) 收敛
这里 \(m\) 是单个数列中的数的下标索引，而 \(n\) 则是向量维度（向量列中的数列个数）。
向量函数列一致收敛
同理，向量函数列 \(X_m(t)=(x_{1m}(t), x_{2m}(t), \cdots, x_{nm}(t))^{\top}\) 中每个函数列都在 \(I\) 上一致收敛，那么向量函数列在 \(I\) 上一致收敛。
向量函数级数一致收敛
给定向量函数级数
\[
\sum_{m=1}^\infty X_m(t)
\]
其部分和是一个向量函数列。如果其部分和在 \(I\) 上一致收敛，则称该向量函数级数在 \(I\) 上一致收敛。
同理，矩阵序列收敛等价于其每个元素对应的数列都收敛，从而导出将会用到的关键的矩阵级数收敛概念。
矩阵级数收敛
给定矩阵级数
\[
\sum_{m=1}^{\infty} A_m
\]
其部分和是一个矩阵序列。如果其部分和收敛，则该矩阵级数收敛。
向量函数的线性相关性
考虑一组向量函数 \(X_1(t), X_2(t), \cdots, X_m(t)\) 在区间 \(I\) 上的线性相关性，定义其线性相关为
向量函数线性相关
如果存在不全为 \(0\) 的常数 \(c_1, c_2, \cdots, c_m\)，使得
\[
\sum_{k=1}^m c_kX_k(t)\equiv 0,\quad t\in I
\]
则称这组向量函数在 \(I\) 上线性相关。
反之则可称这组向量函数在 \(I\) 上线性无关。类似常向量组可以使用行列式判断线性相关性，向量函数组也可以如此判断。
\[
|(X_1, X_2, \cdots, X_m)| = \begin{vmatrix}
X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1m}\\
X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2m}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
X_{n1} & X_{n2} & \cdots & X_{nm}\\
\end{vmatrix}
\]
如上的行列式，其
矩阵指数
一阶线性微分方程组
形式化
一阶线性微分方程组
形如
\[
\begin{cases}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dt} &= a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n + f_1(t)\\
\frac{\mathrm dx_2}{\mathrm dt} &= a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n + f_2(t)\\
&\cdots\\
\frac{\mathrm dx_n}{\mathrm dt} &= a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n + f_n(t)\\
\end{aligned}
\end{cases}
\]
引入一些记号
\[
X(t) = \begin{bmatrix}
x_1(t)\\
x_2(t)\\
\vdots\\
x_n(t)
\end{bmatrix},\quad
A(t) = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\
\end{bmatrix},\quad
F(t) = \begin{bmatrix}
f_1(t)\\
f_2(t)\\
\vdots\\
f_n(t)
\end{bmatrix}
\]
则一阶线性微分方程组可写为矩阵形式
\[
\frac{\mathrm dX(t)}{\mathrm dt} = A(t)X(t) + F(t)
\]
初始条件为
\[
X(t_0)=\alpha
\]
\(\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)^{\top}\) 为常向量。
高阶线性微分方程的转化
\(n\) 阶线性微分方程的初值问题
\[
\begin{cases}
\begin{aligned}
&x^{(n)}+a_1 x^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}x'+a_nx=f(t)\\
&x(t_0)=\alpha_1,x'(t_0)=\alpha_2,\cdots,x^{(n-1)}(t_0)=\alpha_n
\end{aligned}
\end{cases}
\]
通过变换
\[
x_1=x,x_2=x',\cdots,x_n=x^{(n-1)}
\]
可以转化为一阶线性微分方程组
\[
\begin{cases}
\begin{aligned}
x_1'&=x_2\\
x_2'&=x_3\\
&\cdots\\
x_{n-1}'&=x_n\\
x_n'&=-a_nx_1-a_{n-1}x_2-\cdots-a_1x_n+f(t)\\
\end{aligned}
\end{cases}
\]
Remark
高阶线性微分方程必能转化为一阶线性微分方程组，但是反之不一定。由于这种转化方法的存在，对于线性微分方程组，研究一阶即可。
解的理论
存在唯一性定理
设 \(A(t)\) 是 \(n\times n\) 矩阵，\(F(t)\) 是 \(n\) 维列向量，且都在 \(I=[a, b]\) 上连续，那么 \(\forall \; t_0\in I\), \(\alpha\in \mathbb{R}\)，初值问题
\[
\begin{cases}
X'(t) = A(t)X(t) + b(t)\\
X(t_0)=\alpha
\end{cases}
\]
在 \(I\) 上存在唯一解。
参考一阶一元线性微分方程的 Picard 存在唯一性定理的证明可以得到。
现在只是证明了解的存在唯一性，为求出其解析解，可以首先考虑其齐次形式，即令 \(b(t) = 0\)。即
\[
X'(t) = A(t)X(t)
\]
其中 \(A(t)\in C[a, b]\)。首先有一个简单的叠加原理，如果 \(X_1(t), \cdots, X_m(t)\) 都是方程的解向量，那么
\[
\sum_{k=1}^m c_kX_k(t)
\]
也是方程的解向量，\(c_k\) 是任意常数。只需要把这个解代入方程就会发现叠加原理是十分自然的。