量子理论
Part of note taken on ZJU Physics Ⅱ (H), 2021 Fall & Winter
Chap38-1：黑体辐射与光电效应
基尔霍夫定律
基尔霍夫定律 (Kirchhoff's Law) 其实就是发射率等于吸收率，\(\varepsilon_\lambda=A_\lambda\)
发射率：单色辐射强度与相应的黑体辐射的比率
\[
\varepsilon_\lambda=\frac{I_\lambda(\text{emitted})}{B_{\lambda}(T)}
\]
吸收率：吸收的单色光强度与入射光强度的比率
\[
A_\lambda=\frac{I_\lambda(\text{absorbed})}{I_\lambda(\text{incident})}
\]
单色辐射出射度 (Spectral emittance)：单位面积单位时间辐射强度
\[
R_\lambda(T)=\frac{\mathrm dR_\lambda}{\mathrm d\lambda}(W\cdot m^{-3})
\]
辐射出射度 (the totle intensity)：单色辐射出射度对波长的积分
\[
R(T)=\int_0^\infty R_\lambda(T)\mathrm d\lambda(W\cdot m^{-2})
\]
斯特藩 - 玻尔兹曼定律
即 Stefan-Boltzmann Law：
\[
R(T)=\sigma T^4,\quad \sigma=5.67\times 10^{-8}W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}
\]
维恩位移定律
即 Wien displacement law：
\[
T\lambda_{\max}=b,\quad b=2.898\times 10^{-3} m\cdot K
\]
当 \(T\) 升高时，\(\lambda_{\max}\) 将会减小，即蓝移。
维恩公式长波糟糕，瑞丽 - 金斯公式短波糟糕（紫外灾难）。
普朗克辐射公式 (1900)
\[
R(\lambda,T)=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5(e^{\frac{h\nu}{kT}}-1)}, \quad h=6.626\times 10^{-34}J\cdot s
\]
推导：第 \(i\) 类量子的能量为 \(ih\nu\)，根据麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布律，有
\[
N(E)=\frac{2N}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{(kT)^{3/2}}E^{1/2}e^{-E/kT}
\]
根据普朗克量子假设，每个能级 \(E=ih\nu\)，且应该做一个平均积分。直接使用 PPT 上的结论：
\[
N_i=Ne^{-\frac{ih\nu}{kT}}
\]
平均能量为
\[
\overline{\varepsilon}=\frac{\sum ih\nu\cdot N_i}{\sum N_i}=\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^\infty ih\nu\cdot Ne^{-\frac{ih\nu}{kT}}}{\displaystyle\sum_{i=0}^\infty Ne^{-\frac{ih\nu}{kT}}}\Rightarrow \overline{\varepsilon}=\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}
\]
在 Rayleigh-Jeans 公式中，令 \(kT=\overline{\varepsilon}\)，则
\[
R(\lambda,T)=\frac{2\pi}{\lambda^4}kT\cdot c=\frac{2\pi c}{\lambda^4}\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5(e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1)}
\]
在普朗克辐射公式中，令 \(\lambda\to0\)，\(e^{\displaystyle\frac{hc}{\lambda kT}}\gg 1\) 可以得到维恩公式
\[
R(\lambda,T)=\frac{C_1}{\lambda^5}e^{-\frac{C_2}{\lambda T}}
\]
令 \(\lambda\to\infty\)，\(e^{\displaystyle\frac{hc}{\lambda kT}}=1+\dfrac{hc}{\lambda kT}+o(\dfrac{1}{\lambda})\)，则得到瑞丽 - 金斯公式
\[
R(\lambda,T)=\frac{2\pi ckT}{\lambda^4}
\]
爱因斯坦光电效应方程
\[
h\nu=K_{\max}+A=\frac{1}{2}mv_{m}^2+A
\]
\(A\) 为逸出功。
康普顿散射效应
即 The Compton Effect。结论：
\[
\Delta\lambda=\frac{h}{m_0c}(1-\cos\varphi)
\]
康普顿波长 \(\lambda_C=\dfrac{h}{m_0c}=0.00243 nm\)。
推导：
\[
\begin{cases}
\begin{aligned}
&m_0c^2+h\nu=mc^2+h\nu'\\
&(mv)^2=\left(\frac{h\nu}{c}\right)^2+\left(\frac{h\nu'}{c}\right)^2-2\left(\frac{h\nu'}{c}\right)\left(\frac{h\nu}{c}\right)\cos\varphi\\
&m^2=\frac{m_0^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}
\end{aligned}
\end{cases}
\]
首先对第三条方程进行变换，得到
\[
m^2(c^2-v^2)=m_0^2c^2
\]
变换第一条方程得到
\[
m^2c^2=\left(m_0c+\frac{h\nu}{c}-\frac{h\nu'}{c}\right)^2
\]
减去第二条方程，代换得到
\[
m_0c^2=\left(m_0c+\frac{h\nu}{c}-\frac{h\nu'}{c}\right)^2-\left(\dfrac{h\nu}{c}\right)^2-\left(\dfrac{h\nu'}{c}\right)^2+2\left(\dfrac{h\nu'}{c}\right)\left(\dfrac{h\nu}{c}\right)\cos\varphi
\]
化简得到
\[
\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\frac{c}{\nu'}-\frac{c}{\nu}=\dfrac{h}{m_0c}(1-\cos\varphi)=\dfrac{2h}{m_0c}\sin^2\frac{\varphi}{2}
\]
Chap38-2：物质波
\[
E=h\nu=h\frac{c}{\lambda},\quad p=\frac{h}{\lambda}
\]
因为 \(m_0=0\), \(E=pc\)。
德布罗意波
即 de Broglie wave，
\[
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}=\frac{h_0}{m_0v}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}
\]
\[
\nu=\frac{E}{h}=\frac{mc^2}{h}=\frac{m_0c^2}{h\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}
\]
海森堡不确定性原理
即 Heisenberg’s Uncertainty Principle，
\[
\Delta x\cdot \Delta p\geqslant \frac{\hbar}{2}
\]
不考虑相对论，有
\[
\begin{gathered}
2mE=p^2\\
2m\Delta E=2p\Delta p\\
\Delta E=\frac{p}{m}\Delta p=v\Delta p=
\frac{\Delta x\cdot \Delta p}{\Delta t}
\geqslant \frac{\hbar}{2\Delta t}
\end{gathered}
\]
即有
\[
\Delta E\cdot \Delta t\geqslant \frac{\hbar}{2}
\]
概率波
\[
\Psi(x,t)=\psi_0(x)e^{i(kx-\omega t)}
\]
有概率密度
\[
\begin{aligned}
p(x)&=\Psi(x,t)\Psi^*(x,t)\\
&=\psi_0\psi^*_0e^{i(kx-\omega t)}e^{-i(kx-\omega t)}\\
&=|\psi_0|^2
\end{aligned}
\]
概率归一化条件
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi\Psi^*\mathrm{d}x=1
\]
Chap39-1：薛定谔方程
在波函数
\[
\Psi(x,t)=\psi_0e^{i(kx-\omega t)}
\]
中，根据德布罗意波有
\[
\begin{gathered}
E=h\nu=\frac{h}{2\pi}\omega=\hbar \omega\\
p=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{2\pi}\cdot\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{h}{2\pi}k=\hbar k
\end{gathered}
\]
则波函数转化为
\[
\Psi(x,t)=\psi_0\exp\{\frac{i}{\hbar}(px-Et)\}
\]
原始一维薛定谔方程：
\[
i\hbar \frac{\partial \Psi (x,t)}{\partial t}=
\left[-\frac{\hbar}{2m}
\frac{\partial^2}{\partial t^2}+U(x,t)\right]\Psi (x,t)
\]
当 \(U(x,t)\) 与 \(t\) 无关（变为 \(U(x)\)），则可以得到一维薛定谔定态方程
\[
\frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2}
+\frac{2m}{\hbar}\left[E-U(x)\right]\psi(x)=0
\]
推导：利用如下的式子进行变换
\[
\Psi(x,t)=\psi(x)\exp\{-\frac{E}{\hbar}t\}\\
\]
一维自由粒子
\[
U(x)=0
\]
\[
\frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2}
+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)=0
\]
可以解得 ( 虽然我用常微分无法理解，2022-1-2 注 )
\[
\psi(x)=\psi_0e^{ikx},\quad \psi^*(x)=\psi_0^*e^{-ikx},\quad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}
\]
则 \(\psi\psi^*=|\psi_0^2|\)，一维自由例子在空间各处分布概率密度相同。
一维无限深势阱
即 Infinitely Deep Potential Well，
\[
U(x)=
\begin{cases}
0,&0\leqslant x\leqslant a\\
+\infty,&x< 0 \text{ or } x>a
\end{cases}
\]
那么，\((0,a)\) 之外，都有 \(\psi(x)\equiv 0\)。只考虑 \(x\in [0,a]\)，则
\[
\frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2}
+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)=0
\]
\[
\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx
\]
有初值条件
\[
\psi(0)=\psi(a)=0
\]
则
\[
B=0,\quad A\sin ka=0\Rightarrow \sin ka=0\Rightarrow k=\frac{n\pi}{a}
\]
则 \([0,a]\) 上，有
\[
\psi(x)=A\sin\frac{n\pi}{a}x
\]
根据归一化条件有
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(x)\psi^*(x)\mathrm{d}x&=
A^2\int_{-\infty}^{+\infty}\sin^2\frac{n\pi}{a}x\mathrm{d}x\\
&\xlongequal{t=\frac{n\pi x}{a}}\frac{a}{n\pi}A^2\int_0^{n\pi}\frac{1-\cos 2t}{2}\mathrm{d}t\\
&=\frac{a}{n\pi}A^2\frac{n\pi}{2}=1
\end{aligned}
\]
得到 \(A=\displaystyle\sqrt{\frac{2}{a}}\)
因此一维无限深势阱有波函数
\[
\psi(x)=
\begin{cases}
\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\dfrac{n\pi}{a}x,&0<x<a\\
0,&x\leqslant 0\text{ or }x\geqslant a
\end{cases}
\]
考虑其能量，有
\[
k=\frac{n\pi}{a}=\frac{p}{\hbar}=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}
\]
所以有
\[
E=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}
\]
谐振子
即 The Harmonic Oscillator，
\[
U(x)=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega^2x^2,\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}
\]
解一维薛定谔定态方程，最终可以得到
\[
E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega,\quad n=0,1,2,\cdots
\]
隧穿效应
即 Tunneling effect, Barrier Tunneling。
传播率 (Transmissivity):
\[
T=\exp\{-\frac{2}{\hbar}\sqrt{2m(U_0-E)}a\}=e^{-2ka},\quad k=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}
\]
Chap39-2：氢原子光谱
玻尔模型
- 定态 (stationary state) 假设：\(E=E(n)\)
- \(h\nu=E_i-E_j\)
- 角动量量子化假设：\(L=mvr=n\hbar\)
角动量量子化假设可以根据稳定轨道驻波条件推出：
\[
2\pi r=n\lambda=n\frac{h}{mv}
\]
\[
\begin{cases}
\begin{aligned}
&\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\\
&mvr=n\hbar
\end{aligned}
\end{cases}
\]
得
\[
r=\frac{4\pi \varepsilon_0 n^2\hbar^2}{me^2}
=\frac{n^2 \varepsilon_0 h^2}{\pi me^2}
\quad E_n=\frac{1}{2}mv^2-\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r}=
-\frac{ke^2}{8\pi \varepsilon_0r}=-\frac{me^4}{8n^2\varepsilon_0^2h^2}
\]
其中基态能量为
\[
E_1=-13.6eV
\]