光学
Part of note taken on ZJU Physics Ⅱ (H), 2021 Fall & Winter
Chap34：几何光学
费马原理 (Fermat's Principle) 推导反射定律
\[
\begin{gathered}
L=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+(d-x)^2}\\
t=\frac{L}{c},\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=0(Fermat)\Rightarrow\frac{\mathrm dL}{\mathrm dx}=0\\
\therefore \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}=0\\
\therefore\sin\theta_1=\sin\theta_1'\text{, 有 }\theta_1=\theta_1'
\end{gathered}
\]
费马原理推导折射定律
\[
\begin{gathered}
t=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{\dfrac{c}{n_1}}+\frac{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}{\dfrac{c}{n_2}}\\
\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac 1c\left(\frac{n_1x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{n_2(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}\right)=0\\
n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2=C
\end{gathered}
\]
球面镜反射公式
\[
\begin{gathered}
\beta=\alpha+\theta,\gamma=\beta+\theta\\
s\approx u\alpha,s=r\beta,s\approx v\gamma\\
\therefore \frac 1u+\frac 1 v=\frac{\alpha+\gamma}{s}=\frac{2\beta}{s}=\frac{2}{r}=\frac{1}{\dfrac{r}{2}}
\end{gathered}
\]
Chap36-1：干涉
光强与电场
分析光一般主要考虑电场分量。
- 原因 1：人眼主要感受光的电场分量
- 原因 2：光与物质作用的电场力数量级大于磁场力 \(E=cB\)，即低速情况下 \(\dfrac{v}{c}\ll 1\)，故
\[
\vec F=\vec Eq + q\vec v\times \vec B
=\vec E q+q\frac{\vec v}{c}
\times\vec B\approx\vec Eq
\]
本来公式是
\[
I=\overline{S}=\frac{1}{2\mu_0c}E_m^2=\frac{c}{2\mu_0}B_m^2,\quad I\propto E^2\\
\]
光学中常用相对光强 \(I=E^2\)
干涉
干涉 (Interference)
\[
\begin{gathered}
\vec E=\vec E_0\cos(\omega t-kr+\varphi)\\
\text{由 }k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi\nu}{\lambda \nu}=\frac{\omega}{c}\\
\vec E_1=\vec E_{01}\cos(\omega_1 t-\frac{\omega_1}{c}r_1+\varphi_1)\\
\vec E_2=\vec E_{02}\cos(\omega_2 t-\frac{\omega_2}{c}r_2+\varphi_2)\\
\vec E_P=\vec E_1+\vec E_2, E_P^2=E_1^2+E_2^2+2E_1\cdot E_2\\
\text{则 }I=E_P^2=E_1^2+E_2^2+2(E_1,E_2)
\end{gathered}
\]
\((E_1,E_2)=0\) 即正交时，不发生干涉
\((E_1,E_2)\neq 0\)，发生干涉
\[
\begin{aligned}
\vec E_1\cdot\vec E_2=&\frac{1}{2}\vec E_{01}\cdot\vec E_{02}\cos(\omega_1t+\varphi_1-kr_1)\cos(\omega_2t+\varphi_2-kr_2)\\
=&\frac{1}{2}\vec E_{01}\cdot\vec E_{02}\{
\cos\left[(\omega_1+\omega_2)t+(\varphi_1+\varphi_2)-\frac{\omega_1r_1+\omega_2r_2}{c}\right]\\
&+\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]-\frac{\omega_1r_1-\omega_2r_2}{c}\}\\
&(k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi \nu}{c}=\frac{\omega}{c})
\end{aligned}
\]
我们要考虑一个周期内的有叠加的平均值，即取
\[
\frac{1}{2T}\int_t^{t+2T}\vec E_1\cdot\vec E_2\mathrm dt
\]
无干涉情况
- \(\vec E_1\perp \vec E_2\)
- \(\omega_1\neq \omega_2\)，一个周期叠加平均值 =0
- (\(\varphi_1-\varphi_2\)) 不是常数
因此相干条件有相同频率、相同偏振 ( 振动 ) 方向、恒定相位差
干涉中的光程差计算
光程 \(L=nr\)，有 \(\varphi=2\pi\dfrac{L}{\lambda}\)
双缝通过的介质可能有所不同，因此考虑
\[
\begin{aligned}
y_1=E_1=A_1\cos(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda_1}r_1+\varphi_1),y_2=A_2\cos(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda_2}r_2+\varphi_2)\\
y=y_1+y_2=A\cos(\omega t+\phi)
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
A&=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\left[(\varphi_1-\varphi_2)-2\pi(\frac{r_1}{\lambda_1}-\frac{r_2}{\lambda_2})\right]}\\
&=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta\varphi}\\
&\phi=\arctan\frac{A_1\sin(\varphi_1-\dfrac{\pi r_1}{\lambda_1})+A_2\sin(\varphi_2-\dfrac{\pi r_2}{\lambda_2})}{A_1\cos(\varphi_1-\dfrac{\pi r_1}{\lambda_1})+A_2\cos(\varphi_2-\dfrac{\pi r_2}{\lambda_2})}
\end{aligned}
\]
考虑初相位相同，则 \(\varphi_1=\varphi_2\)
考虑同一介质，则 \(\lambda_1=\lambda_2\)
\[
\begin{aligned}
\Delta\varphi&=\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1)\\
\Delta\varphi&=\begin{cases}
\pm 2m\pi,&\to A_{max}\\
\pm(2m+1)\pi,&\to A_{min}
\end{cases}
\end{aligned}
\]
考虑不同介质，则
\[
\begin{gathered}
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\dfrac{\lambda}{n_2}}r_2-\frac{2\pi}{\dfrac{\lambda}{n_1}}r_1=\frac{2\pi}{\lambda}(n_2r_2-n_1r_1)=\frac{2\pi}{\lambda}\delta\\
\delta=\begin{cases}
\pm m\lambda,&\to A_{max}\\
\pm (2m+1)\dfrac{\lambda}{2},&\to A_{min}
\end{cases}
\end{gathered}
\]
杨氏双缝干涉
\[
\begin{gathered}
\delta=r_2-r_1=d\sin\theta\approx d\tan\theta=\frac{xd}{D}=\begin{cases}
\pm m\lambda,&\to A_{max}\\
\pm (2m+1)\dfrac{\lambda}{2},&\to A_{min}
\end{cases}\\
\Delta x=\frac{D\lambda}{d}
\end{gathered}
\]
干涉光强问题
\[
\begin{gathered}
\varphi_1=\varphi_0-\frac{2\pi r_1}{\lambda},\;
\varphi_2=\varphi_0-\frac{2\pi r_2}{\lambda}\\
I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos(\varphi_2-\varphi_1)\\
\end{gathered}
\]
近轴条件且双缝等宽，有 \(I_1=I_2=I_0\)，因此
\[
I=2I_0[1+\cos(\varphi_2-\varphi_1)]
=4I_0\cos^2\frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}
\]
等倾干涉
等倾干涉 (Equal Inclination Interference)，考虑光疏到光密
\[
n_1\sin i=n_2\sin r
\]
\[
\begin{aligned}
\delta=&\frac{n_2\Delta x}{\sin r}-n_1\Delta x\sin i+\frac{\lambda}{2}\\
=&\Delta x\left(\frac {n_2^2}{n_1\sin i}-n_1\sin i\right)+\frac{\lambda}{2}\\
=&\left(2d\frac{\sin r}{\cos r}\right)\frac{n_2^2-n_1^2\sin^2 i}{n_2\sin r}+\frac{\lambda}{2}\\
=&2d\frac{n_2^2-n_1^2\sin^2 i}{n_2\sqrt{1-\sin^2r}}+\frac{\lambda}{2}\\
=&2d\frac{n_2^2-n_1^2\sin^2 i}{\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}}+\frac{\lambda}{2}\\
=&2d\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\frac{\lambda}{2}
\end{aligned}
\]
等厚干涉
等厚干涉 (Equal Thickness Interference) 比较简单，按情况分析
牛顿环
牛顿环即 The Newton's Ring
\[
\delta=2e_m+\frac{\lambda}{2}=
\begin{cases}
m\lambda&\max\\
(2m+1)\frac{\lambda}{2}&\min
\end{cases}
\]
\(e_m\) 为厚度，\(\frac{\lambda}{2}\) 为半波损失。而
\[
r^2=R^2-(R-e_m)^2=2e_mR+e_m^2\approx 2e_mR
(R\gg e_m)
\]
\[
\begin{gathered}
\therefore
e_m=\frac{r^2}{2R}\\
r=\sqrt{\frac{2m-1}{2}\lambda R},\quad \max\\
r=\sqrt{m\lambda R},\quad \min
\end{gathered}
\]
时间相干性和空间相干性
时间相干性
时间相干性即 Coherence of Time。
波列长度 \(L=\tau c\)，其中 \(\tau\) 为脉冲寿命，\(c\) 为光速
最小波列长度 \(L_c\)
\[
L_c=\frac{\lambda^2}{\Delta \lambda}
\]
\(\Delta \lambda\) 表征单色性。
推导：令 \(\lambda+\Delta\lambda\) 光的第 \(k\) 级与 \(\lambda\) 光的第 \(k+1\) 级重合
\[
\delta=k(\lambda+\Delta\lambda)=(k+1)\lambda
\Rightarrow k=\frac{\lambda}{\Delta \lambda}
\]
回代得
\[
\delta=\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}+\lambda\approx\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}
\]
则可以取 \(L_c=\delta=\displaystyle\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}\)
空间相干性
空间相干性即 Coherence of Space。
单缝 + 双缝结构，单缝到双缝距离为 \(D'\)，单缝缝宽 \(a\) 不能太大。
几何关系，考虑近轴条件有
\[
\frac{OP}{D}=\frac{a/2}{D'}
\]
其中 \(D\) 是双缝到屏的距离，\(OP\) 是因为单缝缝宽造成的中心明纹的偏移。
临界态，中心明纹最大偏移量是 \(OP_{\max}=\frac{1}{2}\Delta x=
\frac{1}{2}\frac{D}{d}\lambda\)，即偏移后中心明纹在原一级暗纹处，有
\[
a=\frac{2OP_{\max}}{D}D'=\frac{D'}{d}\lambda
\]
Chap36-2：衍射
夫琅禾费单缝衍射
即 Fraunhofer Diffraction。
\[
\delta=a\sin\theta
\]
中央明纹半角宽度
\[
\Delta\theta=
\frac{\lambda}{a}
\]
则中央明纹半宽度
\[
\Delta x=f\Delta\theta=\frac{f\lambda}{a}
\]
衍射光强分析
将单缝 \(a\) 分为 \(m\) 个半波带，对相邻半波带分析有
\[
\begin{gathered}
\delta_m=\frac{a\sin\theta}{m}\\
\Delta\varphi=2\pi\frac{\delta_m}{\lambda}
=\frac{2\pi a}{m\lambda}\sin\theta
\end{gathered}
\]
整体分析得
\[
\begin{gathered}
\varphi=m\Delta\varphi=\frac{2\pi a}{\lambda}\sin\theta\\
E_\theta=2R\sin\frac{\varphi}{2}
=2\frac{E_1}{\Delta\varphi}\sin\frac{\varphi}{2}
=mE_1\frac{\displaystyle \sin\frac{\varphi}{2}}
{\displaystyle \frac{\varphi}{2}}=E_0\frac{\sin\alpha}{\alpha}
\end{gathered}
\]
其中 \(\alpha=\dfrac{\varphi}{2}=\dfrac{\pi a}{\lambda}\sin\theta\)，根据 \(I=E^2\) 可得
\[
I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2
\]
暗纹：令 \(\sin\alpha=0\) 有
\[
\sin\theta=\pm k\dfrac{\lambda}{a}
\]
明纹：令 \(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d\alpha}I_\theta=0\) 有
\[
\tan\alpha=\alpha
\]
则
\[
\alpha_1=1.43\pi,\alpha_2=2.46\pi,\alpha_3=3.47\pi
\]
即
\[
\sin\theta=\frac{\lambda}{a}\frac{\alpha}{\pi }=1.43, 2.46,3.47\cdots
\]
夫琅禾费圆孔衍射
艾里斑相关参数
\[
\begin{gathered}
\Delta\theta=1.22\frac{\lambda}{d}\\
\Delta x=f\Delta\theta=1.22\frac{f\lambda}{d}
\end{gathered}
\]
注意其中的 \(d\) 是直径，对应于缝宽 \(a\)。
瑞丽判据
即 Rayleigh's Criterion，有最小分辨角 \(\theta_R\)
\[
\theta_R=\theta_m=1.22\frac{\lambda}{d}
\]
分辨率 \(R=\dfrac{1}{\theta_R}\)
考虑衍射的双缝干涉
首先分析干涉叠加：
\[
\begin{gathered}
\Delta\varphi=2\pi\frac{\delta}{\lambda}=
\frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta\\
E=2E_1\cos\beta\\
(\beta=\frac{\Delta\varphi}{2}=)
\frac{\pi d}{\lambda}\sin\theta\\
I=I_m\cos^2\beta
\end{gathered}
\]
根据衍射的结论，有
\[
\begin{gathered}
I=I_m\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\\
\alpha=\frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta
\end{gathered}
\]
两种合成，则考虑衍射的双缝干涉有
\[
I=I_m\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\cos^2\beta
\]
衍射因子 (diffraction factor):
\[
\displaystyle\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2
\]
干涉因子 (interference factor):
\[
\displaystyle\cos^2\beta
\]
用相位图分析也可以得到该结论，略去。
Chap36-3：光栅与光谱
光栅方程
即 Grating Equation。
任意两个缝相干均加强，\(\Delta\varphi=2\pi\dfrac{d\sin\theta}{\lambda}=\pm 2m\pi\)，有光栅方程：
\[
d\sin\theta=\pm m\lambda
\]
根据 \(\theta<\dfrac{\pi}{2}\)，观察到的明纹数量 \(m\) 有限制，有
\[
m<\frac{d}{\lambda}
\]
让所有光程差加起来相消，即叠加电场成为闭合曲线，由 \(N\Delta\varphi=2\pi N\dfrac{d\sin\theta}{\lambda}
=\pm m'2\pi\)，有光栅的暗纹方程：
\[
Nd\sin\theta=\pm m'\lambda
\]
其中 \(m'\neq mN\)，否则将变成明纹方程。
因此，\(N\) 缝干涉时，两条明纹之间有 (\(N-1\)) 条暗纹，有 (\(N-2\)) 个次极大值。
第 m 级明纹半宽度
第 \(m\) 级明纹有光栅方程
\[
d\sin\theta=m\lambda
\]
其上侧最近的暗纹有方程
\[
Nd\sin(\theta+\delta\theta)
=(mN+1)\lambda
\]
其中
\[
\begin{aligned}
\sin(\theta+\delta\theta)
&=\sin\theta\cos\delta\theta+\sin\delta\theta\cos\theta\\
&\approx\sin\theta+\cos\theta\delta\theta
\end{aligned}
\]
故有
\[
d\sin\theta+d\cos\theta\delta\theta
=m\lambda+\frac{\lambda}{N}
\]
根据明纹光栅方程化简得到
\[
\delta\theta=\frac{\lambda}{Nd\cos\theta}
\]
对于中央明纹，就有 \(\theta=0\)，则
\[
\delta\theta=\frac{\lambda}{Nd}
\]
所以 \(N\) 增大，\(\delta\theta\) 就会减小，条纹就会尖锐 (sharp) 化。
色散与分辨力
已知复色光的 \(\Delta\lambda\)，有
\[
d\sin\theta=m\lambda\Rightarrow
d\cos\theta\Delta\theta=m\Delta\lambda
\]
则定义色散 (Dispersion)
\[
D=\frac{\Delta\theta}{\Delta\lambda}=
\frac{m}{d\cos\theta}
\]
因此，在第 \(m\) 级亮纹附近的色散，级数越大 ( 增大 \(m\)、减小 \(\cos\theta\))、\(d\) 越小，色散越明显。
分辨力依然考虑瑞丽判据，让 \(\lambda+\Delta\lambda\) 的 \(m\) 级明纹与 \(\lambda\) 的 \(Nm+1\) 级暗纹重合，则
\[
\begin{gathered}
d\sin\theta=m(\lambda+\Delta\lambda)\\
Nd\sin\theta=(Nm+1)\lambda\\
\Rightarrow
R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN
\end{gathered}
\]
\(m\) 或 \(N\) 增大，分辨力 \(R\) 都会增大。
光栅干涉 + 衍射强度分布
\[
I=I_m\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2
\frac{\sin^2(N\beta)}{N^2\sin^2\beta}
\]
其中 \(\alpha=\dfrac{\pi a}{\lambda}\sin\theta, \beta=\dfrac{\pi d}{\lambda}\sin\theta\)。
X 射线衍射 ( 晶体衍射 )
布拉格公式 (Bragg's Law)：
\[
2d\sin\theta=m\lambda
\]
Chap36-4：偏振
To be done, or will never be down...