线性方程组的直接解法
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在线性代数中，已经学到线性方程组都能够表示为矩阵形式
\[
Ax=b
\]
线性方程组直接解法的思路是首先对系数矩阵 \(A\) 进行分解
\[
A=LU
\]
其中 \(L\) 代表一个下三角矩阵，\(U\) 代表一个上三角矩阵，即
\[
L=\begin{bmatrix}
l_{11}\\
l_{21} & l_{22}\\
\vdots & \vdots & \ddots \\
l_{n1} & l_{n2} & \cdots & l_{nn}
\end{bmatrix},\quad
U=\begin{bmatrix}
u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n}\\
& u_{22} & \cdots & u_{2n}\\
& & \ddots & \vdots\\
& & & u_{nn}
\end{bmatrix}
\]
这样就可以将原方程转化为 \(L(Ux)=b\)，即先解
\[
Ly=b
\]
得到 \(y\)，然后解
\[
Ux=y
\]
得到所求的 \(x\)。
解三角形方程组和 Gauss 分解
基本工具：解三角形方程组
于是发现在这种直接法解线性方程组的思路下，最基本的工具就是解三角形方程组的算法。首先是最自然的解下三角形方程组的算法：