Coursework (3)
可微条件
Exercise 1-3，\(f\) 不一定一阶可微；Exercise 5-7，默认 \(f\) 一阶连续可微。
\(f\) 不一定一阶可微，则使用一般凸函数的定义：\(\mathrm{dom} f\) 是凸集，且 \(\forall x, y \in \mathrm{dom} f\)，\(\alpha \in [0, 1]\)，有
\[
f(\lambda x + (1 - \lambda)y) \leqslant \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y)
\]
Alternative
如果能力有限，可以处理为一阶可微或者二阶可微，评分时会酌情处理。
Exercise 1
注意 \(I\) 不一定有限，甚至不一定可数，不能用 \(f_1\), ..., \(f_n\) 去描述，也不能用数学归纳法可数地去考虑。
Alternative
如果能力有限，可以处理为可数或者有限，评分时会酌情处理。
Exercise 3
注意分别取 \(\inf\) 是可能比一起取 \(\inf\) 更小的，即
\[
\inf_{y\in Y} f(x_1,y) + \inf_{y\in Y} f(x_2,y) \leqslant \inf_{y\in Y} [ f(x_1,y)+f(x_2,y) ]
\]
考虑实数域上，如果 \(\inf f(x) \neq -\infty\)，那么可以取到一个 non-increasing 的序列 \(f(x_n)\)，使得 \(\lim\limits_{n\to \infty} f(x_n) = \inf f(x)\)。可以参考一下。
Alternative
如果能力有限，可以处理为 \(\exists\; x_0\) 使得 \(f(x_0) = \inf f(x)\)，评分时会酌情处理。
Exercise 4
- \(|x|^{p-2}\) 在 \(x=0\) 处存在问题，考虑 \(p=1\)
- (2)(3)(4) 自己思考的时候需要考虑 \(x=0\) 处应该如何求导，但作为简化，提交的作业中可以直接写出求导结果，但不可导的情况需要考虑
- \(\mathcal{F}^{1}\) 要求一阶连续可微，用其他方法证明凸性的同学需要注意一下
Exercise 5-7
\(\mathcal{F}_L^{1, 1}(\mathbb{R})\) 包含的含义有
- \(f\) 处处连续可微
- \(f\) 的凸性
- \(\nabla f\) 以 \(L\) 为系数的 Lipschitz 连续性
完整的证明需要说明以上三点，不过重点在于第三点。